Question

4．已知函数f（x）=aln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$+2x-1．
（1）当a=2时，求函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；
（2）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求函数的定义域，把a=2代入函数解析式，求导，得单调区间；
（2）令t=x+1，若x≥0时，则t≥1函数f（x）=aln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$+2x-1=alnt+$\frac{1}{t}$+2t-3．x≥0时，f（x）≥0恒成立，等价于t≥1时，alnt+$\frac{1}{t}$+2t-3≥0．令g（t）=alnt+$\frac{1}{t}$+2t-3．对函数g（t）求导，研究g（t）即可．

解答 解：（1）函数的定义域为（-1，+∞）
当a=2时，f（x）=2ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$+2x-1，
f′（x）=$\frac{2}{x+1}$-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$+2，
f′（0）=2-1+2=3，f（0）=0，
∴过（0，0）斜率是3的直线方程是：y=3x；
（2）令t=x+1，若x≥0时，则t≥1，
函数f（x）=aln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$+2x-1=alnt+$\frac{1}{t}$+2t-3．
x≥0时，f（x）≥0恒成立，等价于t≥1时，alnt+$\frac{1}{t}$+2t-3≥0．
令g（t）=alnt+$\frac{1}{t}$+2t-3．
g（1）=0+1+2-3=0
g′（t）=$\frac{a}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$+2=$\frac{{2t}^{2}+at-1}{{t}^{2}}$，
设h（t）=2t²+at-1
则h（t）恒过（0，-1）
①当h（1）≥0，画函数y=h（t）的图象如图：

故当h（1）≥0，即2+a-1≥0，也即a≥-1时，h（t）≥0在t≥1恒成立，
∴g′（t）≥0在t≥1恒成立，
∴g（t）在t≥1时递增，∴g（t）≥g（1）=0恒成立，
②当h（1）＜0时，

即当h（1）＜0，即2+a-1＜0，也即a＜-1时，h（t）＜0在t∈（1，t₂）恒成立，
∴g′（t）＜0在t∈（1，t₂）恒成立，
∴g（t）在t∈（1，t₂）时递减，∴g（t）＜g（1）=0恒成立，不满足g（t）＞0恒成立，
综上a≥-1．

点评 本题主要研究函数与导数的关系，情况复杂时，可以进行分类讨论，同时结合图象解题也是常用方法．