Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ln（2x+1）-mx（m∈R）．
（1）求函数f（x）=$\frac{1}{2}$ln（2x+1）-mx（m∈R）的单调区间；
（2）若函数2f（x）≤m+1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，函数的导数，通过m与0 的大小的讨论，求解函数的单调性即可得到函数的单调区间．
（2）利用函数恒成立，转为化函数的最值问题，借助（1）的解答判断求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$ln（2x+1）-mx，x＞-$\frac{1}{2}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{1+2x}$-m，
∵2x+1＞0，∴当m≤0时，f′（x）＞0，…（2分）
当m＞0时，f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2m}$-$\frac{1}{2}$，m-$\frac{1}{2}$＞-$\frac{1}{2}$，
列表

x	（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$，+∞）
f'（x	+	0	-
f（x）	递增	极大值	递减

综上所述：
当m≤0时，f（x）的增区间是（-$\frac{1}{2}$，+∞），
当m＞0时，f（x）的增区间是（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$），减区间是（$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$，+∞）…（6分）
（2）若函数2f（x）≤m+1恒成立，只需f（x）的最大值小于等于$\frac{m+1}{2}$，
当m≤0时，f（x）=$\frac{1}{2}$ln（2x+1）-mx的值趋向于无穷大，故不成立，…（10分）
当m＞0时，由（1）知f（x）有唯一的极值且是极大值，
所以，当x=$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$时，f（x）的函数值最大，…（12分）
所以，2f（$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$）=ln（$\frac{1}{m}$-1+1）-$m（\frac{1}{m}-1）$=ln$\frac{1}{m}$-（1-m）≤m+1，解得，m≥$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故函数2f（x）≤m+1恒成立时，m的取值范围是[$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）；…（14分）

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，考查转化思想，导数的基本应用，函数恒成立，综合性较强，难度较大．