Question

（2006•崇文区一模）已知一次函数f（x）=ax-2
（I）当a=3时，解不等式|f（x）|＜4；
（II）解关于x的不等式|f（x）|＜4；
（III）若不等式|f（x）|≤3对任意x∈（0，1]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）a=3时，f（x）=3x-2，然后代入|f（x）|＜4，去绝对值后即可求出x的取值范围；
（II）先去绝对值，然后讨论a的符号，分别求出相应的解集即可；
（III）将若不等式|ax-2|≤3对任意x∈（0，1]恒成立，转化成-3≤ax-2≤3对任意x∈（0，1]恒成立，然后根据一次函数的单调性即可求出a的取值范围．

解答：解：（I）∵a=3时，f（x）=3x-2
∴|f(x)|＜4?|3x-2|＜4?-4＜3x-2＜4?-2＜3x＜6?-

2

3

＜x＜2
∴不等式的解集为{x|-

2

3

＜x＜2}（6分）
（II）∵|ax-2|＜4
∴-4＜ax-2＜4即-2＜ax＜6
当a＞0时，不等式|f（x）|＜4的解集为{x|-

2

a

＜x＜

6

a

}
当a＜0时，不等式|f（x）|＜4的解集为{x|-

2

a

＞x＞

6

a

}
当a=0时，不等式|f（x）|＜4的解集为R．
（III）若不等式|ax-2|≤3对任意x∈（0，1]恒成立
即-3≤ax-2≤3对任意x∈（0，1]恒成立
即-3≤a-2≤3
∴-1≤a≤5

点评：本题主要考查了函数恒成立，以及绝对值不等式的求解，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．