【题目】如图,四边形是边长为
的正方形,
平面
,
,且
,
.
(I)求证: 平面
.
(II)求与平面
所成角的正弦值.
(III)为直线
上一点,且平面
平面
,求
的值.
【答案】(I)见解析;(II).
【解析】试题分析:(Ⅰ)通过证明平面与平面平行的判定定理证明平面AMD∥平面BCN,然后证明AM∥平面BCN;
(Ⅱ)以D为原点,DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出平面MNC的法向量以及直线AN向量,然后求AN与平面MNC所成角的正弦值;
(Ⅲ)设E(x,y,z),,得到
点的坐标为
,通过平面
平面
,只要
,
即可.
试题解析:
(I)证明:∵是正方形,
∴,
∵平面
,
平面
,
∴平面
,
∵,
∵平面
,
平面
,
∴平面
,
∵,
平面
,
平面
,
∴平面平面
,
∵平面
,
∴平面
.
(也可建立直角坐标系,证明垂直平面
的法向量,酌情给分)
(II)∵平面
,
是正方形,
所以,可选点为原点,
,
,
所在直线分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系(如图),
则,
,
,
,
∴,
,
,
设平面的法向量
,
则,令
,则
,
设与平面
所成角为
,
∴.
(III)设,
,
∴,
又∵,
,
∴点的坐标为
.
∵面
,
∴,欲使平面
平面
,只要
,
∵,
,
∵,
∴.
∴,
所以.
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【题目】《算法统综》是明朝程大位所著数学名著,其中有这样一段表述:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”,其意大致为:有一七层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有381盏灯,则塔从上至下的第三层有( )盏灯.
A.14
B.12
C.10
D.8
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【题目】下列四个命题:
①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度;
②基本事件空间是Ω={1,2,3,4,5,6},若事件A={1,3},B={3,5,6},A,B为互斥事件,但不是对立事件;
③某校高三(1)班和高三(2)班的人数分别是m,n,若一模考试数学平均分分别是a,b,则这两个班的数学平均分为;
④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等,那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交。
其中真命题的序号是__________。
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【题目】从参加某次高中英语竞赛的学生中抽出100名,将其成绩整理后,绘制频率分布直方图(如图所示).其中样本数据分组区间为: ,
,
,
,
,
.
(Ⅰ)试求图中的值,并计算区间
上的样本数据的频率和频数;
(Ⅱ)试估计这次英语竞赛成绩的众数、中位数及平均成绩(结果精确到).
注:同一组数据用该组区间的中点值作为代表
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【题目】已知三棱台ABC﹣A1B1C1中,平面BB1C1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,BB1=CC1=B1C1=2,BC=4,AC=6
(1)求证:BC1⊥平面AA1C1C
(2)点D是B1C1的中点,求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值.
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【题目】已知:集合,其中
.
,称
为
的第
个坐标分量.若
,且满足如下两条性质:
①中元素个数不少于
个.
②,
,
,存在
,使得
,
,
的第
个坐标分量都是
.则称
为
的一个好子集.
()若
为
的一个好子集,且
,
,写出
,
.
()若
为
的一个好子集,求证:
中元素个数不超过
.
()若
为
的一个好子集且
中恰好有
个元素,求证:一定存在唯一一个
,使得
中所有元素的第
个坐标分量都是
.
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