Question

19．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求向量$\overrightarrow{{A_1}C}$和$\overrightarrow{D{C_1}}$所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{DE}$=0，证明A₁C⊥平面DBE．
（Ⅱ）根据向量的夹角公式，即可求出余弦值．

解答 解：（Ⅰ）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D-xyz．
依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4），C₁=（0，2，4），D（0，0，0）
$\overrightarrow{DE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，4），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{BD}$=-2×2+2×2+0×（-4）=0，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{DE}$=0+4-4=0
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥DE
又DB∩DE=D，
∴A₁C⊥平面DBE．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，4），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=-2×0+2×2+（-4）×4=-12，|$\overrightarrow{{A}_{1}C}$|=$\sqrt{4+4+16}$=2$\sqrt{6}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=$\sqrt{0+4+16}$=2$\sqrt{5}$
∴cos＜$\overrightarrow{{A_1}C}$，$\overrightarrow{D{C_1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{D{C}_{1}}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{D{C}_{1}}|}$=$\frac{-12}{2\sqrt{6}•2\sqrt{5}}$=$-\frac{{\sqrt{30}}}{10}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，线线角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．