Question

9．点A为双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点，过右焦点F（1，0）且倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线与直线x=a²交于点P．若△APF为等腰三角形，则双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 由题意可得c=1，a²+b²=1，（0＜a＜1），右准线方程为x=a²，A（a，0），F（1，0），求得直线PF的方程，求出P的坐标，由题意可得|AF|=|AP|，解方程即可得到a的值，由离心率公式可得所求．

解答 解：由题意可得c=1，a²+b²=1，（0＜a＜1），
右准线方程为x=a²，A（a，0），F（1，0），
直线PF：y=tan$\frac{π}{6}$（x-1），即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），
代入x=a²，可得P（a²，$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a²-1）），
由题意可得|AF|=|AP|，
即为1-a=$\sqrt{（a-{a}^{2}）^{2}+\frac{1}{3}（{a}^{2}-1）^{2}}$，
解得a=$\frac{1}{2}$，
则e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的性质和直线方程的知识，考查运算能力，属于中档题．