Question

已知函数f（x）=2lnx-x²+ax（a∈R）
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）利用导数求出函数的在[

1

e

，e]上的极值和最值，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx-x²+2x，
则f′（x）=

2

x

-2x+2，切点坐标为（1，1），
切线斜率k=f′（1）=2，
则函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y-1=2（x-1），
即y=2x-1；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax+m=2lnx-x²+m，
则g′（x）=

2

x

-2x=

-2(x+1)(x-1)

x

，
∵x∈[

1

e

，e]，
∴由g′（x）=0，得x=1，
当

1

e

＜x＜1时，g′（x）＞0，此时函数单调递增，
当1＜x＜e时，g′（x）＜0，此时函数单调递减，
故当x=1时，函数g（x）取得极大值g（1）=m-1，
g（

1

e

）=m-2-

1

e2

，g（e）=m+2-e²，
g（e）-g（

1

e

）=4-e²+

1

e2

＜0，
则g（e）＜g（

1

e

），
∴g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，e]上最小值为g（e），
要使g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，e]上有两个零点，
则满足

g(1)=m-1＞0 g( 1 e )=m-2- 1 e2 ≤0

，
解得1＜m≤2+

1

e2

，
故实数m的取值范围是（1，2+

1

e2

]

点评：本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的机制和最值问题，考查学生的计算能力．