Question

已知m∈R，命题p：对任意x∈[-1，1]，不等式2x-1≥m²-4m恒成立；命题q：存在 x∈[-1，1]，使得ax≥m成立．
（Ⅰ）若p为真命题，求m的取值范围．
（Ⅱ）当a=2，若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先化简命题p，q，再利用“或”“且”“非”的意义即可得出．

解答： 解：对于命题p：对任意x∈[-1，1]，不等式2x-1≥m²-4m恒成立，
∴m²-4m≤（2x-1）_min=-3，
∴m²-4m+3≤0，
解得1≤m≤3．
∴m的取值范围是[1，3]；
（I）若p为真命题，则m的取值范围是[1，3]．
（II）当a=2时，
对于命题q：存在 x∈[-1，1]，使得2x≥m成立．
∴m≤（2x）_max=2．
∵p∧q为假，p∨q为真，
∴p与q一真一假．
当p真q假时，

1≤m≤3 m＞2

，解得2＜m≤3．
当q真p假时，

m＜1或m＞3 m≤2

，解得m＜1．
综上可得m的取值范围是：m＜1或2＜m≤3．

点评：本题考查了简易逻辑的有关知识、不等式的解法，属于中档题．