Question

设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为；求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S_△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．
（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．
解答：解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p
点A到准线l的距离，
∵△ABD的面积S_△ABD=，
∴=，
解得p=2，
∴圆F的方程为x²+（y-1）²=8．
（2）由题设，则，
∵A，B，F三点在同一直线m上，
又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．
由点A，B关于点F对称得：
得：，直线切点
直线
坐标原点到m，n距离的比值为．
点评：本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．