Question

【题目】已知函数．

（1）设,

①当时，求曲线在点处的切线方程；

②当时，求证：对任意恒成立．

（2）讨论的极值点个数．

Answer 1

【答案】（1）①；②证明见解析；（2）当时，有且仅有一个极值点；当时，有三个极值点

【解析】

（1）①将代入，求出切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程；

②只需证时，对任意都成立，利用导数求其最值即可得证；
（2）只有一个极值点或三个极值点，令，当只有一个极值点时，的图象必穿过轴且只穿过一次，即为单调减函数或者极值同号，分类讨论即可得解，同理可求当有三个极值点时的情况.

解：（1），
①当时，，
∴切线方程为；
②证明：要证对任意，，

只需证时，对任意都成立，
，

令得，
且时，单减，时，单增，
，
在上单增，
，
∴当时，对任意恒成立.
（2），，则
只有一个极值点或三个极值点，
令，当只有一个极值点时，的图象必穿过轴且只穿过一次，即为单调减函数或者极值同号，
（i）为单调减函数时，在上恒成立，则，解得；
（ii）极值同号时，设为极值点，

则有解，则，
且，，
，
同理，
，

化简得，
，解得，
∴当时，只有一个极值点；
当有三个极值点时，，同理可得，
综上，当时，有且仅有一个极值点；当时，有三个极值点.