Question

【题目】如图，四边形是直角梯形，，，，，又，，，直线与直线所成的角为.

（1）求证：平面平面；

（2）（文科）求三棱锥的体积.

（理科）求二面角平面角正切值的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（文科），（理科）．

【解析】分析：（1）利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明；（2）（文）借助（1）结论得到线面垂直，再利用线面角和余弦定理得到有关线段的长度，再利用等体积法进行求解；（理）借助（1）结论得到线面垂直，再利用线面角和余弦定理得到有关线段的长度，再利用线面垂直的判定和性质得到线面垂直和线线垂直，进而得到二面角的平面角，再通过解直角三角形求解．

详解：（1）证明： 平面平面 平面. .

（2）（文科）取的中点，则，连接，.

∵ ，， ∴ ，，

∴ 平面，

∵ 直线与直线所成的角为，∴ ，

在中，由余弦定理得，

∴ 在中，，

∴ .

（理科）取的中点，则，连接，.

∵ ，， ∴ ，，

从而平面，

∵ 直线与直线所成的角为，∴ ，

在中，由余弦定理得，

在中，，

作于，由 平面 ，

∴ 为二面角的平面角，

在中，可得，

在中，.