Question

设函数f（x）=x³+bx²+cx+5，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求实数c的值；
（Ⅱ）判断是否存在实数b，使得方程f（x）-b²x=0恰有一个实数根．若存在，求b的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，∴f'（0）=0．
又f'（x）=3x²+2bx+c，则f'（0）=c=0．
（II）由c=0，方程f（x）-b²x=0可化为x³+bx²-b²x+5=0，假设存在实数b使得此方程恰有一个实数根，则令g（x）=x³+bx²-b²x+5，只需g（x）_极大值＜0或g（x）_极小值＞0
∴g'（x）=3x²+2bx-b²=（3x-b）（x+b）令g'（x）=0，得，x₂=-b
①若b=0，则方程f（x）-b²x=0可化为x³+5=0，此方程恰有一个实根
②若b＞0，则，列表：

x	（-∞，-b）	-b
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴g（x）_极大值=g（-b）=b³+5＞0，
∴，解之得0＜b＜3
③若b＜0，则，列表：

x				-b	（-b，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴，g（x）_极小值=g（-b）=b³+5
∴b³+5＞0，解之得
∴
综合①②③可得，实数b的取值范围是．
分析：（I）曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，可得f'（0）=0．从而可求
（II）若使方程f（x）-b²x=x³+bx²-b²x+5=0恰有一个实数根．构造函数g（x）=x³+bx²-b²x+5，只需g（x）_极大值＜0或g（x）_极小值＞0，利用导数可求
点评：本题主要考查了利用函数的导数求解曲线的在某点处的切线的斜率，函数的极大（小）值的求解，还要注意方程与函数的相互转化的思想在解题中的应用．