Question

16．设函数$f（x）={e^x}-ax-\frac{a}{2}$（x∈R，实数a∈[0，+∞），e=2.71828…是自然对数的底数，$\sqrt{e}=1.64872…$）．
（Ⅰ）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若e^x≥lnx+m对任意x＞0恒成立，求证：实数m的最大值大于2.3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决；
（Ⅱ）构造函数设$g（x）=\sqrt{e}x+\frac{{\sqrt{e}}}{2}-lnx（x＞0）$，利用导数求出函数的最值，即可证明．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）={e^x}-ax-\frac{a}{2}$，f（x）≥0在x∈R上恒成立，
∴a≤$\frac{{e}^{x}}{x+\frac{1}{2}}$，
设h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+\frac{1}{2}}$，
∴h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-\frac{1}{2}）}{（x+\frac{1}{2}）^{2}}$，
令h′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
当x＞$\frac{1}{2}$，即h′（x）＞0，函数单调递增，
当x＜$\frac{1}{2}$，即h′（x）＜0，函数单调递减，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$，
∴0＜a≤$\sqrt{e}$，
故a的取值范围为$[0，\sqrt{e}]$；
（Ⅱ）设$g（x）=\sqrt{e}x+\frac{{\sqrt{e}}}{2}-lnx（x＞0）$，
∴$g'（x）=\sqrt{e}-\frac{1}{x}（x＞0）$，g'（x）＞0，可得$x＞\frac{1}{{\sqrt{e}}}$；g'（x）＜0，可得$0＜x＜\frac{1}{{\sqrt{e}}}$．
∴g（x）在（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，+∞）上单调递增；在$（0，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）$上单调递减．
∴g（x）≥g（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=$\frac{3+\sqrt{e}}{2}$，
∵$\sqrt{e}=1.64872…$，
∴$\sqrt{e}$＞1.6，
∴g（x）＞2.3．
由（Ⅰ）可得e^x＞$\sqrt{e}$x+$\frac{\sqrt{e}}{2}$，
∴e^x-lnx的最小值大于2.3，
故若e^x≥lnx+m对任意x＞0恒成立，则m的最大值一定大于2.3．

点评 本题考查了导数和函数的最值的关系，关键是构造函数，属于中档题．