Question

6．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+6$，
（1）求函数的极值；
（2）求函数在区间[-3，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数极值的关系即可求出极值，
（2）分别求出端点值和极值，即可求出最值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+6，
∴f′（x）=x²-4，
令f′（x）=0，解得x=-2，或2，
当f′（x）＞0，即x＜-2或x＞2，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，即-2＜x＜2，函数f（x）单调递减，
故当x=-2时，函数有极大值，即f（-2）=-$\frac{8}{3}$+8+6=$\frac{34}{3}$，
故当x=2时，函数有极小值，即f（2）=$\frac{8}{3}$-8+6=$\frac{2}{3}$
（2）由（1）可知，f（x）在[-3，-2）或[2，4]上单调递增，在（-2，2）上单调递减，
∵f（-3）=-9+12+6=9，f（4）=$\frac{64}{3}$-16+6=$\frac{34}{3}$，且由（1）f（-2）=$\frac{34}{3}$，f（2）=$\frac{8}{3}$-8+6=$\frac{2}{3}$，
∴函数在区间[-3，4]上的最大值为$\frac{34}{3}$与最小值$\frac{2}{3}$

点评 本题考查了导数和函数的极值最值的关系，掌握求最值的步骤是关键，属于中档题．