Question

11．如图所示，在棱长为2的正方体AC₁中，点P，Q分别在棱BC、CD上，满足B₁Q⊥D₁P，且PQ=$\sqrt{2}$．
（1）试确定P、Q两点的位置．
（2）求B₁Q与平面APQ所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{A{A}_{1}}$为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，设CP=a（0≤a≤$\sqrt{2}$），利用 $\overrightarrow{{B}_{1}Q}$•$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=0，得出关于a的方程并求解即可．
（2）分别求出$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$、面APQ的一个法向量，利用两向量夹角可求cos＜$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$，$\overrightarrow{k}$＞，即可得解．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）以$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{A{A}_{1}}$为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，设CP=a（0≤a≤$\sqrt{2}$），
则CQ=$\sqrt{2-{a}^{2}}$，P（2，2-a，0），Q（2-$\sqrt{2-{a}^{2}}$，2，0），B₁（2，0，2），D₁（0，2，2），$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$=（-$\sqrt{2-{a}^{2}}$，2，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（2，-a，-2），
∵B₁Q⊥D₁P，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$•$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=0，∴-$\sqrt{2-{a}^{2}}$-2a+4=0，
解得a=1，…（4分）
∴PC=1，CQ=1，即P、Q分别为BC，CD中点．…（5分）
（2）∵由（1）可得：$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$=（-1，2，-2），$\overrightarrow{k}$=（0，0，-2）为面APQ的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$，$\overrightarrow{k}$＞=$\frac{2}{3}$，
∴设B₁Q与平面APQ所成角为θ，则sinθ=cos＜$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$，$\overrightarrow{k}$＞=$\frac{2}{3}$…（10分）

点评 本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度，属于中档题．