Question

14．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）点P是线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE成锐角二面角为θ，试求θ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AD⊥BD，DE⊥DB，从而DE⊥平面ABCD，进而DE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BFED．
（Ⅱ）分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出θ的最小值．

解答 证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，∴AB=2．
∴BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos60°=3．…（2分）
∴AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD．
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，DE?平面BEFD，DE⊥DB，
∴DE⊥平面ABCD，…（4分）
∴DE⊥AD，又DE∩BD=D，∴AD⊥平面BFED．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可建立分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的，如图所示的空间直角坐标系，
令EP=λ （0≤λ≤$\sqrt{3}$），则D（0，0，0），A（1，0，0），$B（{0，\sqrt{3}，0}）$，P（0，λ，1），
∴$\overrightarrow{AB}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{BP}=（0，λ-\sqrt{3}，1）$，…（8分）设$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$为平面PAB的一个法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{3}y=0\\（λ-\sqrt{3}）y+z=0\end{array}\right.$，取y=1，则$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，1，\sqrt{3}-λ）$，
…（10分）
∵$\overrightarrow{n_2}=（{0，1，0}）$是平面ADE的一个法向量，
∴$cosθ=\frac{{\left|{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}\right|}}{{\left|{\overrightarrow{n_1}}\right|\left|{\overrightarrow{n_2}}\right|}}=\frac{1}{{\sqrt{3+1+{{（{\sqrt{3}-λ}）}^2}}×1}}=\frac{1}{{\sqrt{{{（{λ-\sqrt{3}}）}^2}+4}}}$．
∵0≤λ≤$\sqrt{3}$，∴当λ=$\sqrt{3}$时，cosθ有最大值$\frac{1}{2}$．
∴θ的最小值为$\frac{π}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查角的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．