Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，点O为坐标原点，若椭圆C与曲线|y|=x的交点分别为A，B（A下B上），且A，B两点满足$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C上异于其顶点的任一点P，作⊙O：x²+y²=$\frac{4}{3}$的两条切线，切点分别为M，N，且直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$为定值．

Answer 1

分析 （1）利用若椭圆C与曲线|y|=x的交点分别为A，B（A下B上），且A，B两点满足$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=2，确定B的坐标，将B的坐标（1，1）代入椭圆方程，结合离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求得a，b，即可求出椭圆的方程；
（2）设点P（x₁，y₁），由M、N是⊙0的切点知，OM⊥MP，ON⊥NP，推出圆的方程，过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作⊙O：x²+y²=$\frac{4}{3}$的两条切线，切点分别为M、N，求出直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，然后证明：$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$为定值．

解答 （1）解：∵椭圆C与曲线|y|=x的交点分别为A，B（A下B上），
∴可得B（x，x），A（x，-x）（x＞0），
∵A，B两点满足$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=2，
∴（x，x）•（0，2x）=2，
∴x=1，
∴B（1，1），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a=2，b=$\frac{2}{\sqrt{3}}$
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}=1$；
（2）证明：设点P（x₁，y₁），由M、N是⊙0的切点知，OM⊥MP，ON⊥NP，
∴O、M、P、N四点在同一圆上，且圆的直径为OP，则圆心为（$\frac{{x}_{1}}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），
其方程为x²+y²-x₁x-y₁y=0-----①
即点M、N满足方程④，又点M、N都在⊙O上，

∴M、N坐标也满足方程⊙O：x²+y²=$\frac{4}{3}$---------------②
②-①得直线MN的方程为x₁x+y₁y=$\frac{4}{3}$，
令y=0得m=$\frac{4}{3{x}_{1}}$，令x=0得n=$\frac{4}{3{y}_{1}}$，
∴x₁=$\frac{4}{3m}$，y₁=$\frac{4}{3n}$，又点P在椭圆E上，
∴（$\frac{4}{3m}$）²+3（$\frac{4}{3n}$）²=4，即$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{3}{4}$为定值．

点评 此题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．