Question

在△ABC中，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则∠A=

π

4

．

Answer 1

分析：由已知的比例式，设一份为x，表示出tanA，tanB，tanC，由A=π-（B+C），利用诱导公式得到tanA=-tan（B+C），再利用两角和与差的正切函数公式将等式右边进行变形，将表示出tanA，tanB，tanC代入，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为tanA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．

解答：解：由tanA：tanB：tanC=1：2：3，设tanA=x，tanB=2x，tanC=3x，
∴tanA=tan[π-（B+C）]=-tan（B+C）=-

tanB+tanC

1-tanBtanC

=-

2x+3x

1-6x2

=x，
整理得：x²=1，解得：x=1或x=-1，
∴tanA=1或tanA=-1（不合题意，舍去），
又A为三角形的内角，
则A=

π

4

．
故答案为：

π

4

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．