Question

已知二次函数f（x）=ax²-2x+a（a≠0）
（1）当a=-1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；（2）不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即a≥

2x

x2+1

对x∈（0，+∞）恒成立，运用基本不等式求出右边的最大值，即可得到取值范围．

解答： 解：（1）当a=-1时，不等式为-x²-2x-1＜0，
即（x+1）²＞0，所以x≠-1，
所以所求不等式的解集为{x|x≠-1}；
（2）不等式为：ax²-2x+a≥0，即a≥

2x

x2+1

，
因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，
所以a≥(

2x

x2+1

)max，
因为

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，当且仅当x=1取最大值1．
所以a的取值范围为a≥1．

点评：本题考查二次函数的性质和运用，考查二次不等式的解法和不等式恒成立问题，转化为求函数最值问题，注意运用基本不等式，属于中档题．