Question

已知中心在原点，左、右顶点A₁、A₂在x轴上，离心率为e₁=

21

3

的双曲线C₁经过点P（6，6）．
（1）求双曲线C₁的标准方程；
（2）若椭圆C₂以A₁、A₂为左、右焦点，离心率为e₂，且e₁、e₂为方程x²+mx+

21

5

=0的两实根，求椭圆C₂的标准方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设双曲线的方程，由离心率公式，和P在双曲线上，满足双曲线方程，解a，b的方程即可得到；
（2）由（1）可得椭圆的c=3，由韦达定理，可得椭圆的离心率，再由离心率公式，a，b，c的关系，即可得到a，b，进而得到椭圆方程．

解答： 解：（1）设双曲线C₁的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∵e1=

21

3

，∴

a2+b2

a2

=

7

3

，∴

b2

a2

=

4

3

，①
又P（6，6）在双曲线C₁上，∴

36

a2

-

36

b2

=1．②
由①、②得a²=9，b²=12，
∴双曲线C₁的方程为

x2

9

-

y2

12

=1．
（2）∵椭圆C₂的焦点为A₁、A₂，即（-3，0）、（3，0），
∴在椭圆C₂中，c=3．
又e₁，e₂为方程x2+mx+

21

5

=0的两实根，
∴

21

3

•e2=

21

5

，所以e2=

3

5

，
∴a=5，b=4，
∴椭圆C₂的标准方程为

x2

25

+

y2

16

=1．

点评：本题考查椭圆和双曲线的方程及性质：离心率，考查待定系数法求方程的方法，考查运算能力，属于基础题．