【题目】如图,在三棱锥与三棱锥
中,
和
都是边长为2的等边三角形,
分别为
的中点,
,
.
(Ⅰ)试在平面内作一条直线
,当
时,均有
平面
(作出直线
并证明);
(Ⅱ)求两棱锥体积之和的最大值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】分析:(Ⅰ)即过H点作一平面与平面ABC平行,与平面EFC的交线为直线。H为中点,所以取
的中点为
,
的中点为
,连
,则
即为所作直线
.
(Ⅱ)把两个三棱锥的体积和转化为两个四棱锥的体积和,
即,求梯形EFBD的面积最大值。
详解:(Ⅰ)设的中点为
,
的中点为
,连
,则
即为所作直线
.
因为分别为
的中点,所以
,
又平面
,
平面
,所以
平面
,
因为分别为
的中点,所以
,
因为,所以
又平面
,
平面
,所以
平面
,
因为,
平面
,所以平面
平面
,
由知
平面
,所以
平面
.
(Ⅱ)因,所以
与
确定一个平面.
连,因
,
为
的中点,
所以,同理
;
又,所以
平面
所以
其中,,
为梯形
的高,
,
当平面平面
时,
,
所以
.
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【题目】已知是椭圆
的左、右焦点,点
在椭圆
上,线段
与
轴的交点
满足
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作不与
轴重合的直线
,设
与圆
相交于
两点,与椭圆相交于
两点,当
且
时,求
的面积
的取值范围.
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【题目】下列命题中正确的是( )
A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b不在平面α内,则b∥α
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【题目】如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAD;
(2)在PB上确定一个点Q,使平面MNQ∥平面PAD.
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【题目】对于函数,若在定义域内存在实数
,满足
,则称
为“
类函数”.
(1)已知函数,试判断
是否为“
类函数”?并说明理由;
(2)设是定义在
上的“
类函数”,求是实数
的最小值;
(3)若
为其定义域上的“
类函数”,求实数
的取值范围.
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【题目】某单位从一所学校招收某类特殊人才,对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:
例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人.由于部分数据丢失,只知道从这
位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)从参加测试的位学生中任意抽取
位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率;
(III)从参加测试的位学生中任意抽取
位,设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为
,求随机变量
的分布列.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
和
,点
在椭圆上,且
的面积为
.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)过该椭圆的左顶点作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点
的两点
、
,证明:动直线
恒过
轴上一定点.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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