【题目】已知函数.
(1)当时,求的最小值;
(2)若,讨论的单调性;
(3)若,为在上的最小值,求证:.
【答案】(1);(2)当时,在单调递减,在单调递增.当或时在单调递减,,单调递增;当时, 在单调递增;(3)见解析
【解析】
(1)当时,,利用导数法求最值.
(2)根据.求导,分,即和分类讨论求解.
(3)根据(2)的结论,当,在单调递减,在单调递增.得到.要证,只需求得最大值即可.
(1)当时,,.
当时,,当时,.
所以当时,取最小值.
(2).
,
若,即时,则由得,
当时,;当时,;
在单调递减,在单调递增.
若,则由得或,
构造函数,则.由,得,
在单调递减,在单调递增.,
(当且仅当时等号成立).
若,,在单调递增.
若或,当时,;当时,;
在单调递减,在,单调递增;
综上:当时,在单调递减,在单调递增.
当或时在单调递减,在,单调递增;
当时, 在单调递增.
(3)证明:由(2)知,若,在单调递减,在单调递增.
.
令.
则,
令,,
所以在上单调递减,,.
存在唯一的,使得,
在单调递增,在单调递减,
故当时,,
又.,
当时,.
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【题目】已知函数f(x)3,g(x)=alnx﹣2x(a∈R).
(1)讨论g(x)的单调性;
(2)是否存在实数a,使不等式f(x)≥g(x)恒成立?如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数().其中常数是自然对数的底数.
(1)若,求在上的极大值点;
(2)(i)证明在上单调递增;
(ii)求关于x的方程在上的实数解的个数.
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【题目】近年来,我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇,但是电子商务行业由于缺乏监管,服务质量有待提高.某部门为了对本地的电商行业进行有效监管,调查了甲、乙两家电商的某种同类产品连续十天的销售额(单位:万元),得到如下茎叶图:
甲 | 乙 | |||||
7 | 5 | 10 | 7 | |||
9 | 5 | 3 | 11 | 5 | 7 | 8 |
8 | 6 | 12 | 3 | 5 | ||
4 | 2 | 13 | 2 | 6 | 9 | |
1 | 14 | 8 |
(1)根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些?
(2)为了综合评估本地电商的销售情况,从甲、乙两家电商十天的销售数据中各抽取两天的销售数据,其中销售额不低于120万元的天数分别记为,令,求随机变量Y的分布列和数学期望.
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【题目】已知椭圆的焦距和长半轴长都为2.过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆的左顶点,直线,分别与直线相交于点,.求证:以为直径的圆恒过点.
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【题目】在三棱锥S-ABC中,侧棱SA,SB,SC两两成等角,且长度分别为a,b,c,设二面角S-BC-A,S-AC–B,S-AB-C的大小为,若则α,β,γ的大小关系是( )
A.B.C.D.
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【题目】甲、乙两人进行象棋比赛,采取五局三胜制(不考虑平局,先赢得三场的人为获胜者,比赛结束).根据前期的统计分析,得到甲在和乙的第一场比赛中,取胜的概率为0.5,受心理方面的影响,前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响,如果甲在某一场比赛中取胜,则下一场取胜率提高0.1,反之,降低0.1.则甲以3:1取得胜利的概率为( )
A.0.162B.0.18C.0.168D.0.174
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【题目】已知圆,设点为圆与轴负半轴的交点,点为圆上一点,且满足的中点在轴上.
(1)当变化时,求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线,、为曲线上两个不同的点,且在、两点处的切线的交点在直线上,证明:直线过定点,并求此定点坐标.
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