Question

【题目】已知函数f（x）3,g（x）＝alnx﹣2x（a∈R）.

（1）讨论g（x）的单调性；

（2）是否存在实数a,使不等式f（x）≥g（x）恒成立？如果存在,求出a的值；如果不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在,

【解析】

（1）先对函数求导,然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论即可求解；

（2）要使不等式f（x）≥g（x）恒成立即xex﹣aelnx+2ex﹣3e≥0,构造函数u（x）＝xex﹣aelnx+2ex﹣3e,结合函数的性质及导数即可求解.

解：（1）,x＞0,

（i）当a≤0时,g′（x）＜0,函数在（0,+∞）上单调递减,

（ii）当a＞0时,令得，令，得，

所以函数g（x）在（0,）上单调递增,在（）上单调递减,

（2）要使不等式f（x）≥g（x）恒成立即恒成立,

即xex﹣aelnx+2ex﹣3e≥0,令u（x）＝xex﹣aelnx+2ex﹣3e,则u（1）＝0,

要使得原不等式成立,则u（x）在x＝1处取得极小值,

因为,

所以u′（1）＝0可得a＝4,

检验a＝4时,u′（x）,

设v（x）＝x（x+1）ex+2ex﹣4e,且v（1）＝0,

显然v（x）在（0,+∞）上单调递增,

当x∈（0,1）时,v（x）＜0,即u′（x）＜0,u（x）单调递减,当x∈（1,+∞）时,v（x）＞0,即u′（x）＞0,u（x）单调递增,

故u（x）的最小值u（1）＝0,满足题意,

综上，a＝4.