Question

15．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示．
（1）求此函数的解析式；
（2）求此函数的递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象求出A，ω，φ，即可确定函数的解析式；
（2）根据函数的表达式，利用正弦函数的性质即可求函数f（x）的单调递增区间；

解答 解：（1）由题图可知，其振幅为A=2$\sqrt{3}$，
由于$\frac{T}{2}$=6-（-2）=8，
所以周期为T=16，
所以ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{16}$=$\frac{π}{8}$，
此时解析式为y=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{8}$x+φ）．
因为点（2，-2$\sqrt{3}$）在函数y=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{8}$x+φ）的图象上，
所以$\frac{π}{8}$×2+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z），
所以φ=2kπ-$\frac{3π}{4}$（k∈Z）．
又|φ|＜π，所以φ=-$\frac{3π}{4}$．
故所求函数的解析式为y=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$）．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），得16k+2≤x≤16k+10（k∈Z），
所以函数y=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$）的递增区间是[16k+2，16k+10]（k∈Z）．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于基础题．