Question

4．已知函数$f（x）=2sin（{ωx-\frac{π}{3}}）-2cos2θ（{ω＞0}）$的图象关于直线$x=-\frac{π}{12}$对称，当ω取最小正数时，方程f（x）=0在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上有两个不等的实根α，β，则α+β+θ的取值范围为[kπ+$\frac{3π}{4}$，kπ+$\frac{5π}{6}$）∪（kπ+$\frac{5π}{6}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]（k∈Z）．

Answer 1

分析 利用正弦函数函数的图象的对称性求得ω，再利余弦函数的图象和性质，求得α+β+θ的取值范围．

解答 解：∵函数$f（x）=2sin（{ωx-\frac{π}{3}}）-2cos2θ（{ω＞0}）$的图象关于直线$x=-\frac{π}{12}$对称，
∴ω•（-$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即ω=-12k-10，k=-1时ω的最小正值为2，
当ω取最小正数时，方程f（x）=0，即 2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=2cos2θ，
故方程 sin（2x-$\frac{π}{3}$）=cos2θ 在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上有两个不等的实根α，β，
即函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象和直线y=cos2θ 在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上有两个交点．
由于这两个交点关于直线x=$\frac{π}{2}$轴对称，在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
联系图象，可得$\frac{1}{2}$[（ 2α-$\frac{π}{3}$）+（2β-$\frac{π}{3}$）]=$\frac{π}{2}$，且cos2θ∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴α+β=$\frac{5π}{6}$，且2θ∈[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，2θ≠0，∴θ∈[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ）∪（kπ，kπ+$\frac{π}{12}$]，
故α+β+θ的取值范围为∈[kπ+$\frac{3π}{4}$，kπ+$\frac{5π}{6}$）∪（kπ+$\frac{5π}{6}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，
故答案为：[kπ+$\frac{3π}{4}$，kπ+$\frac{5π}{6}$）∪（kπ+$\frac{5π}{6}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．