Question

10．如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．
（1）求证：AB∥平面PCD；
（2）求证：BD⊥PC；
（3）若PA=1，AB=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{6}$，求三棱锥C-PBD的体积．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD得出结论；
（2）通过证明BD⊥平面PAC得出BD⊥PC；
（3）利用勾股定理计算OC，得出△BCD的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
又AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD．
（2）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，
∴BD⊥PC．
（3）设AC，BD的交点为O，则OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，∵BC=AB=$\sqrt{2}$，
∴OC=$\sqrt{B{C}^{2}-O{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}BD•OC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴V_C-PBD=V_P-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．