Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁、A₂，上、下顶点分别为B₂、B₁，O为坐标原点，四边形A₁B₁A₂B₂的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x²+y²=$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于-$\frac{1}{4}$，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用四边形A₁B₁A₂B₂为菱形，求出ab=2，圆心O到直线A₂B₂的距离为$\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，列出方程，求出a，b，即可得到椭圆方程．
（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$得：（1+4k²）x²+8mkx+4（m²-1）=0，利用韦达定理以及判别式，通过直线OM，ON的斜率之积等于$-\frac{1}{4}$，求出三角形的面积，若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称，设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），求解三角形的面积即可．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵四边形A₁B₁A₂B₂的面积为4，又可知四边形A₁B₁A₂B₂为菱形，
∴$\frac{1}{2}×2a•2b=4$，即ab=2  ①
由题意可得直线A₂B₂方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即bx+ay-ab=0，
∵四边形A₁B₁A₂B₂内切圆方程为${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$，
∴圆心O到直线A₂B₂的距离为$\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，即$\frac{|-ab|}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$②…（3分）
由①②解得：a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$得：（1+4k²）x²+8mkx+4（m²-1）=0∵直线l与椭圆C相交于M，N两个不同的点，
∴△=64m²k²-16（1+4k²）（m²-1）＞0得：1+4k²-m²＞0③
由韦达定理：${x_1}+{x_2}=-\frac{8mk}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-1）}}{{1+4{k^2}}}$…（7分）
∵直线OM，ON的斜率之积等于$-\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{km（{x_1}+{x_2}）+{k^2}{x_1}{x_2}+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{km•（-8mk）+4{k^2}（{m^2}-1）+{m^2}（1+4{k^2}）}}{{4（{m^2}-1）}}=\frac{{{m^2}-4{k^2}}}{{4（{m^2}-1）}}=-\frac{1}{4}$，
∴2m²=4k²+1满足③…（9分）
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4k}{m}，{x_1}{x_2}=2-\frac{2}{m^2}$，
又O到直线MN的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，$|MN|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{16{k^2}+8}}{m^2}-8}$，
所以△OMN的面积$S=\frac{1}{2}|MN|•d=\frac{1}{2}\sqrt{16{k^2}+8-8{m^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{16{k^2}+8-4（4{k^2}+1）}=1$…（12分）
若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称
设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），则$\frac{y_1}{x_1}•\frac{{-{y_1}}}{x_1}=-\frac{1}{4}$，${x_1}^2=4{y_1}^2$，
又∵M在椭圆上，$\frac{{{x_1}^2}}{4}+{y_1}^2=1$，∴$|{x_1}|=\sqrt{2}，|{y_1}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以△OMN的面积S=$\frac{1}{2}×2|{y}_{1}||{x}_{1}|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1．
综上可知，△OMN的面积为定值1．…（13分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，三角形的面积的求法，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．