Question

18．已知椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的短轴端点到右焦点F₂（1，0）的距离为2，平行四边形ABCD的四个顶点都在椭圆G上．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）若直线AB和AD的斜率存在且分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）当直线AB和DC分别过椭圆G的左焦点F₁和右焦点F₂时，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：c=1，a=2，则b²=a²-c²=3，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）由B，D关于O对称，设BD的方程y=kx，A（m，n），B（x₀，kx₀），D（-x₀，-kx₀），利用直线的斜率公式，即可求得k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）分类讨论，当AD所在直线与x轴垂直时，求得A点坐标，即可求得四边形ABCD面积，当AD所在直线斜率存在时，设直线方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理求得丨AD丨，利用两平行线之间的关系求得d，根据平行四边形的面积公式，利用二次函数的性质，即可求得四边形ABCD面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知c=1，a=2，则b²=a²-c²=3，
∴椭圆G的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）证明：由平行四边形ABCD的四个顶点都在椭圆G上，则B，D关于O对称，
设BD的方程y=kx，A（m，n），B（x₀，kx₀），D（-x₀，-kx₀），椭圆的方程：3x²+4y²=12，
则3m²+4n²=12，3x₀²+4k²x₀²=12，
3（m²-x₀²）=4（k²x₀²-n²），
则k₁=$\frac{k{x}_{0}-n}{{x}_{0}-m}$，k₂=$\frac{-k{x}_{0}-n}{-{x}_{0}-m}$，
∴k₁•k₂=$\frac{k{x}_{0}-n}{{x}_{0}-m}$×$\frac{-k{x}_{0}-n}{-{x}_{0}-m}$=$\frac{{n}^{2}-{k}^{2}{x}_{0}^{2}}{{m}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴k₁•k₂为定值-$\frac{3}{4}$；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：椭圆的左焦点F₁（-1，0），椭圆的左焦点F₂（1，0），
当AD所在直线与x轴垂直时，则AD所在直线方程为x=1，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得y=±$\frac{3}{2}$，
∴平行四边形ABCD的面积S=2×3=6；
当AD所在直线斜率存在时，设直线方程为y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
两条平行线间的距离d=$\frac{丨-2k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴平行四边形ABCD的面积S=丨AD丨×d=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$×$\frac{丨-2k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=24$\sqrt{\frac{{k}^{4}+{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$=24$\sqrt{\frac{\frac{1}{16}（3+4{k}^{2}）^{2}-\frac{1}{8}（3+4{k}^{2}）-\frac{3}{16}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，???
=24$\sqrt{-\frac{3}{16}（\frac{1}{3+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{1}{8}×\frac{1}{3+4{k}^{2}}+\frac{1}{16}}$，
由k²＞0，3+4k²＞3，0＜$\frac{1}{3+4{k}^{2}}$＜$\frac{1}{3}$，
设g（t）=-$\frac{3}{16}$t²-$\frac{1}{8}$t+$\frac{1}{16}$，由g（t）在（0，$\frac{1}{3}$）单调递减，
∴0＜g（t）＜$\frac{1}{16}$
∴S=24$\sqrt{-\frac{3}{16}（\frac{1}{3+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{1}{8}×\frac{1}{3+4{k}^{2}}+\frac{1}{16}}$＜24×$\frac{1}{4}$=6，
综上，平行四边形ABCD面积的最大值为6．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，二次函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．