考点：基本不等式在最值问题中的应用
专题：综合题,函数的性质及应用
分析：先利用韦达定理得出根与系数的关系，再将所求式变形，结合函数的判别式，确定函数在区间上为单调减函数，由此即可求得α2+β2的最大值．
解答：
解：∵α和β是关于x的方程x
2-（k-2）x+k
2+3k+5=0的两个实根
∴α+β=k-2，αβ=k
2+3k+5
∴α
2+β
2=（α+β）
2-2αβ=（k-2）
2-2（k
2+3k+5）=-k
2-10k-6=-（k+5）
2+19
∵△=（k-2）
2-4（k
2+3k+5）=-3k
2-16k-16≥0
∴-4≤k
≤-，
∴k=-4时，α
2+β
2取得最大，最大值为18
故答案为：18．
点评：本题考查根与系数关系的运用，考查二次函数最值的研究，其中构建函数，确定参数的范围是解题的关键．
