Question

已知函数f（x）=2cosxsinx+cos²x-sin²x．
（1）求f（x）的最大值，并求出此时x的值；
（2）写出f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用三角恒等变换可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．
（1）利用正弦函数的最值性质可得f（x）的最大值，由2x+

π

4

=2kπ+

π

2

（k∈Z）可求出此时x的值；
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），可求得f（x）的单调递增区间．

解答： 解：f（x）=2cosxsinx+cos²x-sin²x=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）．
（1）由2x+

π

4

=2kπ+

π

2

（k∈Z）得：x=kπ+

π

8

（k∈Z），f（x）_max=

2

；
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
则kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．