Question

已知函数f（x）=|x₂-1|+x²+kx，且x∈（0，2）．
（1）求关于x的方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解；
（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上仅有一个实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，解得即可；
（2）结合一次函数和二次函数的图象及性质，列出不等式组，解得即可．

解答： 解：（1）因为f（x）=

2x2+kx-1 1＜x＜2 kx+1 0＜x≤1

，
∴当1＜x＜2时，f（x）=kx+3，即2x²=4，∴x=

2

，
当0＜x≤1时，f（x）=kx+3，得方程无解．
∴方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解是x=

2

．
（2）∵f（x）=

2x2+kx-1 1＜x＜2 kx+1 0＜x≤1

，
又∵方程f（x）=0在（0，2）上仅有一个实数根，
∴

k+1≤0 2×12+k-1≥0

或

k+1≤0 2×22+2k-1≤0

，解得k=-1或k≤-

7

2

．

点评：本题主要考查的高考考点：函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，属于中档题．