Question

已知函数f（x）=ax²+4x+2b-4a，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若实数m＞0，且f（x）＞0的一个充分不必要条件是{x|m＜x＜2m+4}，求m的取值范围；
（Ⅲ）设F（x）=-kf（x）+4（k+1）x+2（6k-1），当k取何值时，对?x∈[0，2]，函数F（x）的值恒为负数？

Answer 1

考点：函数恒成立问题,必要条件、充分条件与充要条件的判断,二次函数的性质

专题：简易逻辑

分析：（Ⅰ）由题意可知-2和6是方程ax²+4x+2b-4a=0的两根．利用根与系数的关系即可得到．
（II）由当f（x）＞0时，x∈（-2，6），且f（x）＞0的一个充分不必要条件是{x|m＜x＜2m+4}，
可得{x|m＜x＜2m+4}?（-2，6），因此

2m+4≤6 m≥-2

，解得即可；
（III）由F（x）＜0对?x∈[0，2]恒成立，即kx²+4x-2＜0对?x∈[0，2]恒成立，通过对x分类讨论，分离参数，利用二次函数的单调性就看得出．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知-2和6是方程ax²+4x+2b-4a=0的两根．
故

-2+6=- a 4 -2×6= 2b-4a a

，
解得 

a=-1 b=4.

．）
（Ⅱ）当m＞0时，2m+4＞m．
由当f（x）＞0时，x∈（-2，6），且f（x）＞0的一个充分不必要条件是{x|m＜x＜2m+4}，
∴{x|m＜x＜2m+4}?（-2，6），
∴

2m+4≤6 m≥-2

，解得-2≤m≤1，
又m＞0，∴m的取值范围是0＜m≤1．
（Ⅲ）f（x）=-x²+4x+12，F（x）=-k（-x²+4x+12）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2，
由F（x）＜0对?x∈[0，2]恒成立，
即kx²+4x-2＜0对?x∈[0，2]恒成立，
当x=0时，kx²+4x-2＜0成立；
当x∈（0，2]时，k＜(

-4x+2

x2

)min，
又

-4x+2

x2

=

2

x2

-

4

x

，设t=

1

x

，则t∈[

1

2

，+∞)，
∴

2

x2

-

4

x

=2t²-4t=2（t-1）²-2，
当t=1时，(

-4x+2

x2

)min=-2，
∴k＜-2．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次的根与系数的关系、简易逻辑的判定、二次函数的单调性，考查了分离参数法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．