Question

设数列{a_n}是首项为4,公差为1的等差数列,S_n为数列{b_n}的前n项和,且S_n=n²+2n.

(1)求{a_n}及{b_n}的通项公式a_n和b_n,

(2)若f(n)=问是否存在k∈N^*使f(k+27)=4f(k)成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由;

(3)若对任意的正整数n,不等式≤0恒成立,求正数a的取值范围.

Answer 1

解：(1)a_n=a₁+(n-1)d=4+n-1=n+3.

当n=1时,b₁=S₁=3.当n≥2时,b_n=S_n-S_n-1=n²+2n-(n-1)²-2(n-1)=2n+1.当n=1时上式也成立,∴b_n=2n+1(n∈N^*).∴a_n=n+3,b_n=2n+1.

(2)假设符合条件的k(k∈N^*)存在.由于f(n)=

∴当k为正奇数时,k+27为正偶数.由f(k+27)=4f(k),得2(k+27)+1=4(k+3).∴2k=43,k=(舍去).

当k为正偶数时,k+27为正奇数,由f(k+27)=4f(k),得(k+27)+3=4(2k+1),即7k=26.∴k=(舍去).因此,符合条件的正整数k不存在.

(3)将不等式变形并把a_n+1=n+4代入,得a≤.

设g(n)=.

∴g(n+1)=.

∴=.

又∵,∴＞1,即g(n+1)＞g(n).

∴g(n)随n的增大而增大.故g(n)_min=g(1)=(1+)=.∴0＜a≤.