Question

【题目】已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣ ， ）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是 ． ① f（﹣ ）＜f（﹣ ）
② f（ ）＜f（ ）
③f（0）＞2f（ ）
④f（0）＞ f（ ）

Answer 1

【答案】①
【解析】解：构造函数g（x）= ，

则g′（x）= （f′（x）cosx+f（x）sinx），

∵对任意的x∈（﹣ ， ）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，

∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣ ， ）单调递增，

则g（﹣ ）＜g（﹣ ），即 ＜ ，

∴ ＜ ，即 f（﹣ ）＜f（﹣ ），故①正确，

g（ ）＞g（ ），即 ＞ ，

∴ ＞ ，即 f（ ）＞f（ ），故②错误，

g（0）＜g（ ），即 ＜ ，

∴f（0）＜2f（ ），故③错误，

g（0）＜g（ ），即 ＜ ，

∴f（0）＜ ，即f（0）＜ f（ ），故④错误，

所以答案是：①．

【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．