Question

1．已知函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）求不等式f（x）≥3的解集M；
（2）若a∈M，求证：|x+a|+|x-$\frac{1}{a}$|≥$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，去掉绝对值符合，即可求不等式f（x）≥3的解集M；
（2）利用基本不等式，结合函数的单调性，即可证明结论．

解答 （1）解：f（x）≥3可化为：|2x+1|-|x-4|≥3…（1分）
即$\left\{\begin{array}{l}{-1-2x+x-4≥3}\\{x＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x+1+x-4≥3}\\{-\frac{1}{2}≤x≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x+1-x+4≥3}\\{x≥4}\end{array}\right.$…（3分）
解得x≤-8或x≥2，所以不等式的解集M为{x|x≤-8或x≥2}…（5分）
（2）证明：∵|x+a|+|x-$\frac{1}{a}$|≥|a+$\frac{1}{a}$|=|a|+|$\frac{1}{a}$|（6分）
令|a|=t，则t∈[2，+∞）
则y=y+$\frac{1}{t}$是[2，+∞）上的增函数，…（8分）
因此，y$≥2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，故|x+a|+|x-$\frac{1}{a}$|≥$\frac{5}{2}$．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．