Question

16．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一条渐进线与直线x-y+3=0平行，则此双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，结合题意分析可得$\frac{b}{a}$=1，又由双曲线的几何性质可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，由双曲线的离心率计算公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，
其焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
又由其一条渐进线与直线x-y+3=0平行，则有$\frac{b}{a}$=1，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
则该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$；
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线的特点并求出其渐近线的方程．