Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且
α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，则该椭圆离心率e的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$-1]
• D． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]

Answer 1

分析 由椭圆的定义及对称性求得丨AF丨+丨BF丨=2a，利用直角三角形的性质求得丨AF丨及丨BF丨，利用椭圆的离心率公式及正弦函数的图象及性质，即可求得e的取值范围．

解答 解：由已知，点B和点A关于原点对称，则点B也在椭圆上，
设椭圆的左焦点为F₁，则根据椭圆定义：丨AF丨+丨AF₁丨=2a=10，
根据椭圆对称性可知：丨AF₁丨=丨BF丨，因此丨AF丨+丨BF丨=2a=10①；
因为AF⊥BF，则在Rt△ABF中，O为斜边AB中点，则丨AB丨=2丨OF丨=2c，那么丨AF丨=2csinα②，丨BF丨=2ccosα③；
将②、③代入①得，2csinα+2ccosα=2a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
由α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，α+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，
由sin$\frac{5π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
由函数的单调性可知：sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，1]，则e∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$-1]，
故选：C．

点评 本题考查椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题．