Question

19．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且BD=2，sinB=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）求cos∠ADC及△ABC外接圆的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理即可解得sin∠BAD的值；
（2）先求得cosB，cos∠BAD，利用两角和的余弦函数公式可求cos∠ADC，由题意可求DC=BD=2，利用余弦定理即可求得AC的值，再根据正弦定理求出外接圆的半径，面积即可求出．

解答 解：（1）在△ABD中，BD=2，sinB=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，AD=3，
∴由正弦定理$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sinB}$，得sin∠BAD═$\frac{BDsinB}{AD}$=$2×\frac{3\sqrt{6}}{8}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$；
（2）∵sinB=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，∴cosB=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
∵sin∠BAD=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，∴cos∠BAD=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴cos∠ADC=cos（∠B+∠BAD）=$\frac{\sqrt{10}}{8}$×$\frac{\sqrt{10}}{4}$-$\frac{3\sqrt{6}}{8}$×$\frac{\sqrt{6}}{4}$=-$\frac{1}{4}$，…．（9分）
∵D为BC中点，∴DC=BD=2，
∴在△ACD中，由余弦定理得：AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC=9+4+3=16，
∴AC=4．
设△ABC外接圆的半径为R，
∴2R=$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{4}{\frac{3\sqrt{6}}{8}}$，
∴R=$\frac{8\sqrt{6}}{9}$，
∴△ABC外接圆的面积S=π•（$\frac{8\sqrt{6}}{9}$）²=$\frac{128π}{27}$

点评 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．