【题目】已知函数f(x)=2ax2+bx+1(e为自然对数的底数).
(1)若 ,求函数F(x)=f(x)ex的单调区间;
(2)若b=e﹣1﹣2a,方程f(x)=ex在(0,1)内有解,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:若a= ,F(x)=(x2+bx+1)ex,
则F′(x)=(2x+b)ex+(x2+bx+1)ex=[x2+(b+2)x+b+1]ex=(x+1)[x+(b+1)]ex,
由F′(x)=0得(x+1)[x+(b+1)]=0,即x=﹣1或x=﹣(b+1),
①若b+1=1,即b=0时,F′(x)=(x+1)2ex≥0,此时函数单调递增,单调递增区间为(﹣∞,+∞),
②若﹣(b+1)<﹣1,即b>0时,由F′(x)>0得(x+1)[x+(b+1)]>0,即x>﹣1或x<﹣(b+1),
此时函数单调递增,单调递增区间为(﹣∞,﹣(b+1)),(﹣1,+∞),
由F′(x)<0得(x+1)[x+(b+1)]<0,即﹣(b+1)<x<﹣1,
此时函数单调递减,单调递减区间为(﹣(b+1),﹣1),
③若﹣(b+1)>﹣1,即b<0时,由F′(x)>0得(x+1)[x+(b+1)]>0,解得:x>﹣(b+1)或x<﹣1,
此时函数单调递增,单调递增区间为(﹣∞,﹣1),(﹣(b+1),+∞),
由F′(x)<0得(x+1)[x+(b+1)]<0,解得:﹣1<x<﹣(b+1),
此时函数单调递减,单调递减区间为(﹣1,﹣(b+1))
(2)解:方程f(x)=ex在(0,1)内有解,即2ax2+bx+1=ex在(0,1)内有解,
即ex﹣2ax2﹣bx﹣1=0,
设g(x)=ex﹣2ax2﹣bx﹣1,
则g(x)在(0,1)内有零点,
设x0是g(x)在(0,1)内的一个零点,
则g(0)=0,g(1)=0,知函数g(x)在(0,x0)和(x0,1)上不可能单调递增,也不可能单调递减,
设h(x)=g′(x),
则h(x)在(0,x0)和(x0,1)上存在零点,
即h(x)在(0,1)上至少有两个零点,
g′(x)=ex﹣4ax﹣b,h′(x)=ex﹣4a,
当a≤ 时,h′(x)>0,h(x)在(0,1)上递增,h(x)不可能有两个及以上零点,
当a≥ 时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,h(x)不可能有两个及以上零点,
当 <a<
时,令h′(x)=0,得x=ln(4a)∈(0,1),
则h(x)在(0,ln(4a))上递减,在(ln(4a),1)上递增,h(x)在(0,1)上存在最小值h(ln(4a)).
若h(x)有两个零点,则有h(ln(4a))<0,h(0)>0,h(1)>0,
h(ln(4a))=4a﹣4aln(4a)﹣b=6a﹣4aln(4a)+1﹣e, <a<
,
设φ(x)= x﹣xlnx+1﹣x,(1<x<e),
则φ′(x)= ﹣lnx,
令φ′(x)= ﹣lnx=0,得x=
,
当1<x< 时,φ′(x)>0,此时函数φ(x)递增,
当 <x<e时,φ′(x)<0,此时函数φ(x)递减,
则φ(x)max=φ( )=
+1﹣e<0,
则h(ln(4a))<0恒成立,
由h(0)=1﹣b=2a﹣e+2>0,h(1)=e﹣4a﹣b>0,
得 <a<
,
当 <a<
时,设h(x)的两个零点为x1,x2,则g(x)在(0,x1)递增,
在(x1,x2)上递减,在(x2,1)递增,
则g(x1)>g(0)=0,
g(x2)<g(1)=0,
则g(x)在(x1,x2)内有零点,
综上,实数a的取值范围是( ,
)
【解析】(1)若a= ,求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f(x)的单调区间;(2)根据函数与方程之间的关系转化为函数存在零点问题,构造函数,求函数的导数,利用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的零点与方程根的关系的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;二次函数的零点:(1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点;(2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点;(3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点才能正确解答此题.
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【题目】已知⊙H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四个部分,且截x轴所得线段的长为2。
(I)求⊙H的方程;
(Ⅱ)若存在过点P(0,b)的直线与⊙H相交于M,N两点,且点M恰好是线段PN的中点,求实数b的取值范围
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1(侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱)中,BC=CC1=1,AC=2,∠ABC=90°.
(1)求证:平面ABC1⊥平面A1B1C;
(2)设D为AC的中点,求平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值.
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【题目】如图是一个二次函数y=f(x)的图象
(1)写出这个二次函数的零点
(2)求这个二次函数的解析式
(3)当实数k在何范围内变化时,函数g(x)=f(x)-kx在区间[-2,2]上是单调函数?
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【题目】调查某校 100 名学生的数学成绩情况,得下表:
一般 | 良好 | 优秀 | |
男生(人) | 18 | ||
女生(人) | 10 | 17 |
已知从这批学生中随机抽取1名学生,抽到成绩一般的男生的概率为0.15.
(1)求的值;
(2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取20名,问应在优秀学生中抽多少名?
(3)已知,优秀学生中男生不少于女生的概率.
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【题目】椭圆中心为坐标原点O,对称轴为坐标轴,且过M(2, ) ,N(
,1)两点,
(I)求椭圆的方程;
(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。
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【题目】某小区提倡低碳生活,环保出行,在小区提供自行车出租该小区有40辆自行车供小区住户租赁使用,管理这些自行车的费用是每日92元,根据经验,若每辆自行车的日租金不超过5元,则自行车可以全部出租,若超过5元,则每超过1元,租不出的自行车就增加2辆,为了便于结算,每辆自行车的日租金x元只取整数,用
元表示出租自行车的日纯收入
日纯收入
一日出租自行车的总收入
管理费用
求函数
的解析式及其定义域;
当租金定为多少时,才能使一天的纯收入最大?
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【题目】某市为了了解高二学生物理学习情况,在34所高中里选出5所学校,随机抽取了近千名学生参加物理考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图如图所示.
(1)将34所高中随机编号为01,02,…,34,用下面的随机数表选取5组数抽取参加考试的五所学校,选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第4所学校的编号是多少?
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
(2)求频率分布直方图中a的值,试估计全市学生参加物理考试的平均成绩;
(3)如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学,这3名同学中考试成绩在80分以上,(含80分)的人数记为X,求X的分布列及数学期望.(注:频率可以视为相应的概率)
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