Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁，C₁，B三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为．
（1）求棱A₁A的长；
（2）若在线段BC₁上存在点P，使直线A₁P⊥C₁D，求二面角D-A₁P-B的大小．

Answer 1

解：（1）设A₁A=h，则V_ABCD-A1C1D1==2×2×h-=
解得：h=4，即A₁A的长为4．（4分）
（2）以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A₁（2，0，4），B（2，2，0），C₁（0，2，4）（6分）

若在线段BC₁上存在点P（x，2，z）（0≤x≤2，0≤z≤4）使直线A₁P⊥C₁D
∵P、B、C₁共线，∴，∴z=4-2x
∴
由A₁P⊥C₁D得：（x-2，2，-2x）•（0，2，4）=0，解得：x= （8分）
此时点P的坐标为（，2，3），
设平面DA₁P 的法向量为=（x，y，z），∴，∴
所以可取=（（2，1，-1），
设平面BA₁P的法向量为=（x′，y′，z′），∴，∴
所以可取=（2，2，1）（10分）
∴二面角D-A₁P-B的余弦值为
∴二面角D-A₁P-B的大小为（12分）
分析：（1）利用V_ABCD-A1C1D1=，建立方程，即可求得A₁A的长；
（2）以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用A₁P⊥C₁D，求出点P的坐标，进而可求平面DA₁P 的法向量=（（2，1，-1），平面BA₁P的法向量=（2，2，1），利用向量的夹角公式，即可求得二面角D-A₁P-B的大小．
点评：本题考查几何体轭体积，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力．