Question

1．函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式
（2）若方程f（x）=a在$（{0，\frac{5π}{3}}）$上有两个不同的实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由题意可得f（x）的图象和直线y=a在$（{0，\frac{5π}{3}}）$上有两个不同的交点，再结合正弦函数的图象特征，求得a的取值范围．

解答 解：（1）根据函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的部分图象，
可得A=2，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{6}$-$\frac{2π}{3}$，∴ω=1，故有f（x）=2sin（x+φ）．
再根据五点法作图可得1•$\frac{2π}{3}$+φ=π，∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（2）若方程f（x）=a在$（{0，\frac{5π}{3}}）$上有两个不同的实根，
则f（x）的图象和直线y=a在$（{0，\frac{5π}{3}}）$上有两个不同的交点．
∵x∈（0，$\frac{5π}{3}$），∴x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，2π），
令t=x+$\frac{π}{3}$，则y=sint的图象和直线y=a在（$\frac{π}{3}$，2π）上有2个交点，
画出y=sint的图象，如图所示，
∴a∈（$\sqrt{3}$，2）∪（-2，0）．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了正弦函数的图象特征，属于中档题．