Question

若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]叫做等域区间．
（1）函数h（x）=x²（x≤0）是否是正函数？若是，求h（x）的等域区间，若不是，请说明理由；
（2）已知f(x)=x

1

2

是[0，+∞）上的正函数，求f（x）的等域区间；
（3）试探究是否存在实数m，使得函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先假设h（x）是正函数，则当x∈[a，b]时，

h(a)=b h(b)=a

即

a2=b b2=a

，判断此方程是否有解即可；
（2）因为f(x)=x

1

2

是[0，+∞）上的正函数，然后根据正函数的定义建立方程组，解之可求出f（x）的等域区间；
（2）根据函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a²+a+m+1=0在区
间（-1，-

1

2

）内有实数解进行求解．

解答： 解：（1）函数h（x）=x²（x≤0）不是正函数．理由如下：
因为函数y=x²在（-∞，0]上单调递减，若h（x）是正函数，则
当x∈[a，b]时，

h(a)=b h(b)=a

即

a2=b b2=a

，
消去b得a³=1，而a＜0，∴无解
所以函数h（x）=x²（x≤0）不是正函数．
（2）因为f(x)=x

1

2

=

x

是[0，+∞）上的正函数，且在[0，+∞）上单调递增，
所以当x∈[a，b]时

f(a)=a f(b)=b

，
即

a =a b =b

，解得a=0，b=1，
故函数f（x）的“等域区间”为[0，1]；
（3）因为函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的减函数，
所以当x∈[a，b]时，

g(a)=b g(b)=a

，即

a2+m=b b2+m=a

，
两式相减得a²-b²=b-a，即b=-（a+1），
代入a²+m=b得a²+a+m+1=0，
由a＜b＜0，且b=-（a+1）得-1＜a＜-

1

2

，
故关于a的方程a2+a+m+1=0在区间(-1，-

1

2

)内有实数解，
记h（a）=a²+a+m+1，则

h(-1)＞0 h(- 1 2 )＜0

，
解得m∈（-1，-

3

4

）

点评：本题主要考查了新的定义，以及函数的值域，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题