Question

已知数列{a_n}各项均不为0，且满足关系式a_n=

3an-1

an-1+3

（n≥2）．
（1）求证数列{

1

an

}为等差数列；
（2）当a₁=

1

2

时，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用取倒数法结合等差数列的定义即可证明数列{

1

an

}为等差数列；
（2）根据等差数列的通项公式即可得到结论．

解答： 解：（1）∵a_n=

3an-1

an-1+3

（n≥2）．
∴取倒数得

1

an

=

an-1+3

3an-1

=

1

an-1

+

1

3

，
即

1

an

-

1

an-1

=

1

3

，n≥2
则数列{

1

an

}是公差d=

1

3

的等差数列．
（2）若a₁=

1

2

时，
∵{

1

an

}是公差d=

1

3

的等差数列．
∴

1

an

=

1

2

+

1

3

（n-1）=

2n+1

6

，
即．a_n=

6

2n+1

．

点评：本题主要考查等差数列的判断以及等差数列通项公式的求解，根据数列的递推关系是解决本题的关键．