Question

18．在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=2a_n-1+（n-2）（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的与前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=3，a_n=2a_n-1+（n-2）（n≥2，n∈N^*）．变形为a_n+n=2（a_n-1+n-1），再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=3，a_n=2a_n-1+（n-2）（n≥2，n∈N^*）．
∴a_n+n=2（a_n-1+n-1），
∴数列{a_n+n}是等比数列，首项为4，公比为2．
∴a_n=4×2^n-1-n=2ⁿ⁺¹-n．
（2）解：数列{a_n}的与前n项和S_n=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-（1+2+…+n）
=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（1+n）}{2}$
=2ⁿ⁺²-4-$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．