Question

10．已知等比数列{a_n}的公比为q=-$\frac{1}{2}$．
（1）若a₄=$\frac{1}{8}$，求数列{a_n}的前n项和；
（2）证明：对任意k∈N^*，a_k+2是a_k与a_k+1的等差中项．

Answer 1

分析 （1）由已知利用等比数列通项公式求出首项，由此能求出数列{a_n}的前n项和．
（2）由${a}_{1}=-1，q=-\frac{1}{2}$，推导出a_k+a_k+1=2a_k+2．由此能证明对任意k∈N^*，a_k+2是a_k与a_k+1的等差中项．

解答 解：（1）∵等比数列{a_n}的公比为q=-$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1}{8}$，
∴${a}_{4}={a}_{1}×（-\frac{1}{2}）^{3}=\frac{1}{8}$，解得a₁=-1，
∴数列{a_n}的前n项和：
S_n=$\frac{-1×[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}[（-\frac{1}{2}）^{n}-1]$．
证明：（2）∵${a}_{1}=-1，q=-\frac{1}{2}$，
∴${a}_{k}=（-1）×（-\frac{1}{2}）^{k-1}$，${a}_{k+2}=（-1）×（-\frac{1}{2}）^{k+1}$，${a}_{k+1}=（-1）×（-\frac{1}{2}）^{k}$，
∴a_k+a_k+1=（-1）×（-$\frac{1}{2}$）^k-1+（-1）×（-$\frac{1}{2}$）^k=（-1）（-$\frac{1}{2}$）^k-1[1+（-$\frac{1}{2}$）]
=（-1）•（-$\frac{1}{2}$）^k-1$•\frac{1}{2}$=2×[（-1）×（-$\frac{1}{2}$）^k+1]=2a_k+2．
∴对任意k∈N^*，a_k+2是a_k与a_k+1的等差中项．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，考查等差数列的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．