Question

15．设向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，若$λ\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$与2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$λ\overrightarrow{{e}_{2}}$共线，则实数λ的值是$±\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 $λ\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$与2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$λ\overrightarrow{{e}_{2}}$共线，向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，可得存在实数k使得$λ\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=k（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$λ\overrightarrow{{e}_{2}}$）=2k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3k$λ\overrightarrow{{e}_{2}}$，即可得出．

解答 解：∵$λ\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$与2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$λ\overrightarrow{{e}_{2}}$共线，向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，
∴存在实数k使得$λ\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=k（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$λ\overrightarrow{{e}_{2}}$）=2k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3k$λ\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=2k}\\{2=3kλ}\end{array}\right.$，解得λ=$±\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$±\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．