Question

14．已知函数f（x）=cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=2且asinA=bsinC，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），易得周期和值域；
（2）由（1）和三角形的内角范围可得A=$\frac{π}{3}$，由正余弦定理可得b=c，可判三角形形状．

解答 解：（1）化简可得f（x）=cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，函数的值域为[-2，2]；
（2）∵f（$\frac{A}{2}$）=2sin（A+$\frac{π}{6}$）=2，∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=1．
∵0＜A＜π，∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
由asinA=bsinC和正弦定理可得a²=bc，
再由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
∴（b-c）²=0，∴b=c，∴B=C=$\frac{π}{3}$．
∴△ABC为等边三角形．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角函数公式和三角函数的性质，属中档题．