Question

6．（文科）四棱镜P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，2AD=AB=BC=2a，AD∥BC，PD=$\sqrt{3}$a，∠DAB=60°，Q是PB的中点．
（Ⅰ）若平面PAD∩平面PBC=l，求证：l∥BC；
（Ⅱ）求证：DQ⊥PC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥平面PAD，由此能证明l∥BC．
（Ⅱ）连结BD，由余弦定理，得BD=$\sqrt{3}a$，从而BD⊥AD，BC⊥PD，进而BC⊥平面PBD，平面PBD⊥平面PBC，再由DQ⊥PB，得DQ⊥平面PBC，由此能证明DQ⊥PC．

解答 证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，AD?平面PAD，BC?平面PAD
∴BC∥平面PAD，
又平面PBC过BC，且与平面PAD交于l，
∴l∥BC．
（Ⅱ）连结BD，△ABD中，AD=a，AB=2a，∠DAB=60°，
由余弦定理，得：
BD²=DA²+AB²-2DA•ABcos60°，
解得BD=$\sqrt{3}a$，
∵AB²=AD²+BD²，∴△ABD为直角三角形，BD⊥AD，
∵AD∥BC，∴BC⊥PD，
∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，
∵BC?平面PBC，∴平面PBD⊥平面PBC，
又∵PD=BD=$\sqrt{3}a$，Q为PB中点，∴DQ⊥PB，
∵平面PBD∩平面PBC=PB，∴DQ⊥平面PBC，
∵PC?平面PBC，
∴DQ⊥PC．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．