Question

1．（1）数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$，前n项和为9，求n；
（2）数列{a_n}的通项为a_n=（n+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$，求S_n．

Answer 1

分析 （1）化简a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，从而利用裂项求和法求其前n项和，从而解方程即可；
（2）由a_n=（n+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$，分等差数列与等比数列求其前n项和．

解答 解：（1）∵a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
∴S_n=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（2-$\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）
=$\sqrt{n+1}$-1=9，
故n+1=100，
故n=99；
（2）∵a_n=（n+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=[（1+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$]+[（2+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$]+[（3+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{8}$]+…+[（n+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$]
=[（1+$\frac{1}{2}$）+（2+$\frac{1}{2}$）+（3+$\frac{1}{2}$）+…+（n+$\frac{1}{2}$）]+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{1+\frac{1}{2}+n+\frac{1}{2}}{2}$×n+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{{n}^{2}+2n}{2}$+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了裂项求和法的应用及分类求和法的应用，同时考查了等比数列与等差数列的求和公式的应用．