Question

若三个互不相等的正数x₁，x₂，x₃满足方程x_i+lnx_i=m_i（i=1，2，3），且m₁，m₂，m₃三个数成等差数列，则下列关系正确的是（　　）

• A、x₁x₃＜x₂²
• B、x₁x₃≤x₂²
• C、x₁x₃＞x₂²
• D、x₁x₃≥x₂²

Answer 1

考点：对数的运算性质,等差数列的通项公式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：设f（x）=x+lnx，利用导数可判断f（x）递增，利用不等式可正f（

x1+x3

2

）＞

f(x1)+f(x3)

2

，又m₁+m₃=2m₂，得f（x₁）+f（x₃）=2f（x₂）＜2f（

x1+x3

2

），从而x2＜

x1+x3

2

，再由f（x₁）+f（x₃）=2f（x₂）可得ln

x1x3

x22

=2x₂-（x₁+x₃）＜0，于是可得答案．

解答： 解：设f（x）=x+lnx，f′（x）=1+

1

x

＞0，
∴f（x）单调递增，
f（

x1+x3

2

）=

x1+x3

2

+ln

x1+x3

2

＞

x1+x3

2

+ln

x1x3

=

f(x1)+f(x2)

2

，
∵m₁+m₃=2m₂，
∴f（x₁）+f（x₃）=2f（x₂）＜2f（

x1+x3

2

），则x2＜

x1+x3

2

，
又由f（x₁）+f（x₃）=2f（x₂）可得ln

x1x3

x22

=2x₂-（x₁+x₃）＜0，
∴x1x3＜x22．
故选：A．

点评：本题考查函数单调性及其应用、函数与方程思想，解决该题的关键构造函数f（x）=x+lnx，利用函数性质解决问题，是中档题．